محيط توافقي

العمق هو التفرّع، وليس القطع

في عام 1950، كلود شانون، أبو نظرية المعلومات, قدّر عدد ألعاب الشطرنج المختلفة الممكنة. إجابته، تقريبًا 10¹²⁰، أصبحت رقم شانون، وقد رسّخت حدسنا منذ ذلك الحين.¹ إنه رقم ضخم إلى حدٍ يُحرج الكون المادي، الذي لا يحتوي سوى نحو 10⁸⁰ ذرة.⁶ يمكنك منح كل ذرة رقعة شطرنج خاصة بها، ومع ذلك لن تكون لديك رقعات كافية لإخضاع كل لعبة.

تستحق الشطرنج هذا المجد بجدارة. فمنذ الافتتاح، يملك الأبيض 20 حركة؛ ويردّ الأسود بـ 20، وتوجد بالفعل 400 مواقف بعد تبادل واحد. وبعد ست حركات نصفية، يتجاوز العدد 119 مليون؛ وبحلول الحركة العاشرة يصل إلى 69 تريليون.⁴ يسمّي اللاعبون هذا معامل التفرع، وهو عدد الخيارات القانونية في كل دور. وفي الشطرنج يبلغ في المتوسط نحو 35.² هذا الرقم المتواضع، الذي يتراكم حركة تلو الأخرى، هو محرك غموض اللعبة. فخلال الحركات العشرين الأولى، ينتج عن ذلك ما يقارب 10⁶⁰ لعبة. ومصدر عمق الشطرنج ليس القطع. بل هو التفرع.

أربعمئة، أو تريليون

تُعرف عددات الحركات المبكرة في الشطرنج بدقة. أما في WordChess فهي تقديرات، لكن الفارق بين اللعبتين يتسع بسرعة كبيرة لدرجة أن الهوة تصبح واضحة خلال جولة واحدة.⁴

أرقام الشطرنج هي عدّات دقيقة لتوليد الحركات (perft).⁴ تفترض أرقام WordChess ما يقرب من مليون وضع افتتاحي قانوني لكل جانب، وألفاً متحفظة بعد ذلك، انظر ملاحظة المنهجية.

كل لاعب يحمل الكيس بأكمله

يبدو WordChess قريباً لطيفاً، لعبة كلمات على شبكة، أقرب إلى الكلمات المتقاطعة منها إلى معركة سكاكين. هذا الانطباع خاطئ تماماً، وسطر واحد في قواعده هو السبب: كل لاعب يحمل كامل مجموعة مئة بلاطة.⁷

لا توجد رفّ من سبع بلاطات، ولا حظ في السحب، ولا انتظار لحرف علة. في أي جولة، يمكن للاعب أن يمدّ يده نحو أي تقريباً من 148,941 الكلمات في القاموس، كلمات تصل إلى خمسة وعشرين حرفاً، ويبحث عن مكان يضعها فيه.⁷ Scrabble، المقيدة بسبع بلاطات عشوائية، توفر عامل تفرع يقارب 35، وهو ما يشبه الشطرنج تقريباً.⁵ WordChess يزيل هذا العائق تمامًا.

والنتيجة عنيفة. فالحركة الأولى وحدها تفتح الباب أمام ما يتراوح بين مليون ومليوني توزيع قانوني، أي كلمة، واتجاه، وموقع على رقعة 25×25 المفتوحة على مصراعيها. وعندما يتحرك كلا اللاعبين مرةواحدة فقط، تتفرع اللعبة إلى ما يشبه تريليون موقف. أما الشطرنج، بعد التبادل نفسه، فيبلغ أربعمئة.³

القواعد أبسط. لكن مساحة الاحتمالات ليست كذلك.

لعبة شطرنج كاملة، قبل الغداء

مع امتلاء الرقعة، يميل معامل التفرع في الشطرنج نحو 35 ويثبت عند ذلك. أما في وورد شطرنج، فيبقى في الآلاف، إذ يصبح كل كلمة تم لعبها نقطة ارتكاز جديدة يمكن الارتكاز عليها، ويعني حوض البلاطات الكامل أن الحد الحقيقي الوحيد هو التقاطعات التي يسمح بها القاموس.⁷

شغّل ذلك للأمام. عند ألف حركة قانونية لكل دور، وهو تقدير متحفظ عمدًا، يصل وورد شطرنج إلى 10¹²⁰، رقم شانون، تعقيد لعبة شطرنج كاملة، خلال أول عشرين حركة. اسمح بعشرة آلاف حركة لكل دور، وهو ما يزال معقولًا، وترتفع عشرين حركة نحو 10¹⁶⁰: هامش يتراوح بين أربعين ومئة رتبة من العشرية فوق 10⁶⁰.¹

قلّل التقدير حتى تفترض أن اللاعب يجد فقط ثلاثمائة حركة قانونية في الجولة، وهي جزء يسير من العدد الحقيقي، وحتى بعد عشرين حركة لا يزال 10⁹⁹. لا يزال يتجاوز الشطرنج بأربعين مرتبة عشرية. ويستمر الاستنتاج في الصمود أمام كل افتراض متشائم تقدّمه له.¹

التعقيد هو عدد المستقبلات التي تتفرع من خيار

الشطرنج يفرض عليك قيوداً: الحصان يتحرك كحصان، والبيدق يزحف مربعاً واحداً، وخياراتك، رغم غناها، محدودة ومألوفة. أما WordChess فتسلّمك اللغة بأكملها والرقعة بأكملها وتطلب منك الاختيار. هذه هي الصفقة التي يصنعها التصميم، وهي السبب في أن الشبكة الودودة تخفي محيطاً تركيبياً.

لا يجعل أيٌّ من هذا WordChess أصعب في اللعب بشكل جيد، فمساحة بحث أكبر ليست بالضرورة استراتيجية أعمق، وعبقرية الشطرنج تكمن في مقدار المعنى الذي يستخرجه من تفرّعه الضيق. لكن أي شخص يتخيل لعبة الكلمات كخيار خفيف الوزن لديه الرياضيات معكوسة تماماً. فخلال عشرين حركتها الأولى، تجعل WordChess اللعبة العظيمة للملوك تبدو صغيرة إلى حد ما.