عدُّ الطرق التي يمكن أن تُضاء بها الشبكة

أربعة أُسّ تسعة وأربعين

لكل بلاطة في Conduit أربعة اتجاهات ممكنة، بتدويرها صفر خطوة أو خطوة واحدة أو خطوتين أو ثلاث خطوات ربعية عن موضعها. ¹ أعطِ كل خلية من الخلايا التسع والأربعين في الشبكة اليومية خيارًا مستقلًا بين تلك الاتجاهات الأربعة، فيكون عدد حالات اللوحة المتمايزة 4⁴⁹. وإذا كُتب هذا الرقم كاملًا فهو 316,912,650,057,057,350,374,175,801,344، أي أكثر من ثلاثمئة أوكتيليون تشكيل، تطلب منك اللعبة أن تجد بينها تشكيلًا واحدًا مضاءً بالكامل وخاليًا من التسرب.

عملية الخلط التي تسلّمك اللغز تختار لكل بلاطة عددًا عشوائيًا من الدورات الربعية بين صفر وثلاث. ¹ وهكذا فإن اللوحة التي تواجهها مسحوبة بانتظام من ذلك الفضاء الهائل، مع استثناء واحد حريص تُجريه اللعبة لتتجنب أن تسلّمك شبكة محلولة سلفًا. ¹ أما القوة الغاشمة فليست مطروحة: تشير اختبارات اللعبة نفسها إلى أن تجربة الدورات الأربع لكل بلاطة عملية أُسّية، ولا تُشغِّل البحث الشامل قط إلا على لوحات تجريبية من تسع خلايا أو أقل. ²

التناظر يقلّص العدد بهدوء

ذلك الرقم البارز يبالغ في العدّ، لأن بعض البلاطات لا يهمّها كيف تديرها. فالقطعة الصليبية، ذات الموصلات على الجهات الأربع كلها، تبدو متطابقة في الاتجاهات الأربعة؛ وتدويرها لا يغيّر شيئًا. والخط المستقيم له مظهران متمايزان فقط، أفقي ورأسي، لأن نصف دورة يُطبِقه على نفسه. وحدها الأشكال غير المتناظرة، أي الكوع والقطعة التائية والطرف ذو الموصل الواحد، تملك فعلًا أربعة اتجاهات متمايزة. ³

الأشكال مسمّاة في ملاحظات تصميم اللعبة؛ وأعداد الاتجاهات المتمايزة تنتج من بقاء قناع الموصلات ذي البتات الأربع دون تغيير تحت الدورات المذكورة. ³ فضاء البحث الفعلي أصغر من 4⁴⁹ بمقدار حاصل ضرب هذه التناظرات لكل بلاطة بالضبط، لكنه يظل، على أي لوحة فيها مزيج وافر من الأكواع والقطع التائية، ضخمًا ضخامة فلكية.

كم عدد التوصيلات المحلولة الموجودة أصلًا؟

اقلب السؤال. انسَ الاتجاهات التي قد تجرّبها؛ واسأل كم عدد اللوحات المحلولة الممكنة من الأساس. شبكة Conduit المكتملة هي مجموعة من الأنابيب متصلة، تصل الطاقة فيها إلى كل بلاطة، ولا تحوي أي حلقة مهدَرة، لأن ما يبنيه المولِّد هو شجرة ممتدة: متصلة، خالية من الدورات، بمسار واحد من المصدر إلى كل عقدة. ³ وكل توصيلة من هذا النوع هي، على وجه الدقة، شجرة ممتدة لمخطط الشبكة، حيث الرؤوس هي الخلايا والأضلاع هي الحدود المشتركة التي يمكن لأنبوب أن يجسرها.

والأشجار الممتدة يمكن عدّها بدقة. فمبرهنة المصفوفة والشجرة لكيرشوف، وهي نتيجة تعود إلى عام 1847، تقول إن عدد الأشجار الممتدة لأي مخطط يساوي أي عامل مرافق لمصفوفة لابلاس الخاصة به، وهو محدِّد يمكن حسابه في زمن كثير الحدود. ⁴ وبالنسبة إلى الشبكات ينفجر العدد مع الحجم: فشبيكة متواضعة بحجم 4×4 لها بالفعل 100,352 شجرة ممتدة، ويتصاعد الرقم من هناك تصاعدًا شرسًا. وكل واحدة منها حلّ مشروع ومضاء بالكامل للعبة Conduit. اللغز صعب لا لأن الإجابات نادرة، بل لأنها مخبأة وسط حشد أكبر بكثير من شبه الإجابات.

قواعد محلية، وعواقب شاملة

قد تأمل أن يتفكك اللغز: ثبّت الزاوية العلوية اليسرى، ثم البلاطة المجاورة لها، وسِر بترتيب إلى الزاوية البعيدة. وأحيانًا يستسلم جزء من اللوحة لذلك فعلًا. فالبلاطة في الزاوية لها ضلعان فقط يلامسان الجيران، ولذلك تكون موصلاتها مقيّدة بشدة؛ وبلاطة الطرف على الحافة لا يمكنها أن تشير إلا إلى الداخل. هذه الحركات الإجبارية تمنحك مواطئ قدم.

لكن شرطَي الفوز لا يتسلسلان بهذه الطواعية. إن الخلوّ من التسرب خاصية محلية، يمكنك التحقق منها ضلعًا ضلعًا. أما التغذية بالطاقة فليست كذلك: فإضاءة البلاطة تتوقف على سلسلة غير منقطعة من الوصلات تمتد رجوعًا حتى المصدر، وربما عبر اللوحة بأكملها. ³ وتغيير تُجريه في زاوية ما قد يُغرق منطقة بعيدة في الظلام بكسر المسار الوحيد الذي كان يغذّيها. هذا الاقتران، حيث قد يكون مصير كل بلاطة مرهونًا بمسار يعبر الشبكة كلها، هو ما يمنع لغز التدوير من الانهيار إلى مجرد مسك دفاتر سهل، وهو السبب في أن برامج الحلّ لعائلة ألغاز Net/Pipes الأوسع (ألغاز الشبكة والأنابيب) تعتمد على نشر القيود والبحث بدلًا من مسح بسيط من اليسار إلى اليمين. ⁵

ليست الحالات، بل الدورات

على الرغم من اتساع فضاء الحالات كله، فإن الكمية التي تقيّمك عليها Conduit صغيرة وإنسانية: كم مرة نقرت. فالنتيجة هي 1000 − 4 × الحركات − 2 × الثواني، بحدّ أدنى صفر. ³ ولأي لوحة معيّنة عدد أدنى نظري من الدورات، هو مجموع أقل عدد من الدورات الربعية اللازمة للوصول إلى اتجاه محلول عبر جميع البلاطات، وكل دورة مهدَرة بعده تكلّفك أربع نقاط، وكل ثانية خاملة نقطتين.

وهكذا تقع اللعبة الحقيقية بين حقيقتين هائلتين وحقيقة صغيرة واحدة. فكومة القش عرضها 4⁴⁹ اتجاهًا؛ والإبر هي الأشجار الممتدة الكثيرة للشبكة؛ ومهمتك أن تنتقل من إحداهما إلى الأخرى بأقل ما تستطيع من الحركة الوحيدة المسموح بها. علم التوافيق يضمن أن الإجابة موجودة هناك. والتسجيل يتحدّاك بهدوء أن تجدها من دون تجوال. ⁴