الكفاءة الخفية للأساس ثلاثة، وهل تكون اللعبة المبنية عليه، في صمت، الآلة الأكثر أناقة.
كُتب وحُرِّر بالإنجليزية. أُنتجت هذه النسخة العربية بالترجمة الآلية؛ وحيثما كانت الدقة مهمة، فالأصل الإنجليزي هو المرجع المعتمد. اقرأ الأصل بالإنجليزية ←
3927 هي 2048 أُعيد بناؤها في ثلاثة أبعاد وبحساب مختلف. اللوحة مكعب 3×3×3، أي سبع وعشرون خلية، وأنت تدفع المكعب كله في أي من ستة اتجاهات. وعندما تتصادم ثلاث بلاطات متساوية القيمة، فإنها لا تتضاعف؛ بل تتضاعف ثلاثًا. فالثلاثة تصير تسعة، والتسعة تصير سبعة وعشرين، وهكذا صعودًا: 81، 243، 729. والاسم نفسه يعدّ البلاطات الثلاث الأولى، 3·9·27، وكل ما في التصميم ثلاثات من أوله إلى آخره: ثلاث خلايا في كل محور، وثلاث بلاطات لكل دمج، والثلاثة عاملًا للنمو. 4
أما سلفها فثنائي بعناد. فلعبة 2048 الكلاسيكية تتعامل بقوى العدد اثنين، 2، 4، 8، 16…، وتدمج البلاطات أزواجًا. والاثنان هو عدد رمي العملة، والترانزستور، والبت. لذا فالسؤال الطبيعي الذي يطرحه لاعب فضولي هو: هل استبدال الاثنين بالثلاثة مجرد طرافة، أم أن الثلاثة كانت تخفي ميزة حقيقية طوال الوقت؟ يتبيّن أن للرياضيات رأيًا، وأنه رأي حازم على نحو مفاجئ.
تخيّل أن عليك بناء آلة تخزّن الأرقام. كل خانة رقمية تكلّفك شيئًا، عجلة أو سلكًا أو صمامًا، وتتناسب هذه الكلفة مع الأساس، لأن الخانة في الأساس b تحتاج إلى b من الحالات القابلة للتمييز. لكن الأساس الأكبر يعني أيضًا أنك تحتاج إلى خانات أقل لبلوغ أي رقم معيّن. ثمة توتر هنا، وله اسم: اقتصاد الأساس (radix economy).
رسميًا، اقتصاد تمثيل رقم N في الأساس b هو حاصل ضرب الأساس في عدد الخانات، E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 الأساس الكبير يمنحك أرقامًا قصيرة لكن بخانات باهظة؛ والأساس الصغير رخيص في الخانة الواحدة لكنه مترامي الأطراف. وفي مكان ما بين الطرفين تقع نقطة مثلى، وهي ليست حيث استقرت معظم تقنياتنا.
| الأساس | b ÷ ln b | مقارنةً بالأمثل |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | الأمثل |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
عندما يكون N كبيرًا، يتصرف الاقتصاد مثل (b ÷ ln b) · ln N، فتتوقف كفاءة الأساس كليًا على العامل b ÷ ln b. صغّر هذا العامل بقليل من حساب التفاضل، فتكون الإجابة دقيقة وغريبة: أكثر الأسس اقتصادًا على الإطلاق هو e، أي نحو 2.71828. 1 لا يمكنك بالطبع أن تبني حاسوبًا بـ2.718 حالة لكل خانة. لكن يمكنك أن تسأل أي عدد صحيح يقع أقرب ما يكون إلى هذا المثال، والفائز، متغلبًا على الاثنين والعشرة معًا، هو الثلاثة.
الفجوة ليست أكاديمية. فالأساس ثلاثة يقع في حدود نصف بالمئة من الأمثل النظري، بينما يدفع النظام الثنائي رسمًا إضافيًا قدره ستة بالمئة، والعشري ستين بالمئة ساحقة. وإليك طريقة ملموسة لتحسّ بذلك: لكتابة كل رقم من 0 حتى 999,999، يحتاج النظام الثنائي إلى 20 خانة، والعشري إلى 6، أما الثلاثي فلا يحتاج إلا إلى 13، و13×3 مجموع أصغر من 20×2. 1 فالثلاثة تحشر فعلًا قدرًا أكبر من العدّ في بنية أقل.
سُئلت الطبيعة أن تسمّي أكفأ طريقة للعدّ، فأجابت بعدد غير نسبي. وأقرب عدد صحيح إلى تلك الإجابة هو الثلاثة.
ليس هذا مجرد طرفة من طرائف الكتب المدرسية. ففي عام 1958، في جامعة موسكو الحكومية، بنى فريق بقيادة Nikolay Brusentsov والرياضي Sergei Sobolev حاسوب Setun، أشهر حاسوب ثلاثي صُنع على الإطلاق. 3 وبينما كان الغرب يلتزم بالبتات، كان Setun يعدّ بـالتريتات (trits)، واستخدم مخططًا جميلًا على نحو خاص: النظام الثلاثي المتوازن، الذي لا تكون قيم خاناته الثلاث 0 و1 و2 بل −1 و0 و+1. 2
يؤتي هذا التناظر ثماره على الفور. فالرقم يحمل إشارته بنفسه، بلا بت إشارة منفصل، وبلا التواءات المتمم الثنائي، ولعكس إشارة أي قيمة يكفي أن تقلب كل خانة. ويصبح التقريب والبتر عملية واحدة. وقد رأى Donald Knuth فيه «ربما أجمل نظام عددي على الإطلاق». 2 وقد استخلص Brusentsov، في غياب الترانزستورات، ثلاث حالات مستقرة من أزواج من نوى الفيريت؛ وبُني نحو خمسين حاسوب Setun، أُرسل معظمها لتعليم الرياضيات في الجامعات السوفييتية. 3 لقد عملت الآلة، وكانت رخيصة، وكانت متقدمة في صمت على جيرانها.
هنا يجب على الكاتب الحريص أن يقاوم نفسه. فاقتصاد الأساس ادعاء يتعلق بتخزين الأرقام ومعالجتها في ظل افتراضات محددة عن الكلفة، وحتى الرياضيون يشيرون إلى أن تلك الافتراضات تقريبية فحسب، وكثيرًا ما يعيد حساب أشمل تبرير النظام الثنائي، ولهذا يعمل العالم به. 1 ولغز الدمج ليس بنك ذاكرة؛ ولا أحد يقلّل عدد الصمامات في استراحة القهوة. لذا فإن 3927 ليست «أكثر كفاءة» بأي معنى هندسي جوهري، وسيكون من الغش قول ذلك.
ومع ذلك. فاللعبة ترث شيئًا صحيحًا. النمو بالتضاعف ثلاثًا يبلغ الأرقام الكبيرة في حركات أقل وأعظم أثرًا؛ فكل دمج ينجز عملًا أكبر، ومكعب 3×3×3 هو أصغر لوحة تتيح للاندماج الثلاثي أن يتنفس في كل اتجاه. 4 لم يتعثر التصميم بالثلاثة مصادفةً، بل استقر على العدد الصحيح الذي فضّلته رياضيات العدّ في صمت منذ فجر الحوسبة الإلكترونية، العدد الذي اختاره مهندسو Setun عن قصد. الاثنان هو العدد الذي اعتدنا عليه افتراضيًا. والثلاثة هو العدد الذي كنا سنختاره لو كانت الكلمة الأخيرة للكفاءة، لا لرمي العملة. أما أن البلاطات تتهجى صدفةً 3، 9، 27، فتلك نكتة صغيرة كان الكون يرويها من قبل.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.