لعبتا دمج، وسؤال واحد: هل يمكن لعب أيٍّ منهما دون خطأ؟ تمر الإجابة عبر ركن اللوحة، وخصمٍ لا يأتي أبدًا، ورقمٍ يبلغ ارتفاعه سبعة عشر أُسًّا.
كُتب وحُرِّر بالإنجليزية. أُنتجت هذه النسخة العربية بالترجمة الآلية؛ وحيثما كانت الدقة مهمة، فالأصل الإنجليزي هو المرجع المعتمد. اقرأ الأصل بالإنجليزية ←
لنبدأ باللعبة التي يعرفها الجميع. 2048، بأربعة اتجاهات وشبكة 4×4 وبلاطات تتضاعف حين تتلامس، لعبةٌ غير محلولة بالمعنى الدقيق. لم يكتب أحد خوارزمية تلعبها لعبًا مثاليًا. وما لدينا هو تقريبات قوية جدًا. فبحث expectimax (أقصى القيمة المتوقعة)، الذي يستشرف نحو ثماني حركات إلى الأمام ويقيّم كل لوحة بحفنة من الاستدلالات المضبوطة يدويًا، كالخلايا المفتوحة، والبلاطات الكبيرة المثبتة على حافة، والسلاسة، يبلغ بلاطة 32768 في أكثر من ثلث مبارياته، 1 وأقوى محرك متاح للعموم يلامس بلاطة 65536 في نسبة مئوية ضئيلة من المرات. 2 وعند تعميمها على لوحة m×n، يصبح مجرد تحديد ما إذا كانت بلاطة مستهدفة قابلة للبلوغ مسألةً NP-صعبة. 3 فالقوي ليس هو المحلول.
إلى أي ارتفاع يمكن أن تصعد بلاطة واحدة؟ على ست عشرة خلية، الإجابة قطعة صغيرة أنيقة من العدّ. رتّب اللوحة على هيئة درج تنازلي، 65536، 32768، 16384، نزولًا حتى بلاطة 2 منفردة. كل بلاطة أدنى من جارتها بقوة واحدة من قوى العدد اثنين بالضبط، فتملأ القوى الست عشرة المتمايزة من 21 حتى 216 اللوحة تمامًا، وتجلس 65536 = 216 على القمة: أُسٌّ واحد لكل خلية. هذا هو السقف إذا كانت اللعبة لا تعطيك إلا بلاطات 2. لكن 2048 تولّد بلاطة 4 مرة من كل عشر، وبلاطة 4 واحدة في توقيت محكم تهرّب أُسًّا سابع عشر، رافعةً الحد الأقصى الحقيقي إلى 131072 = 217، أي قيمة سبع عشرة بلاطة من القوى محشورة في ست عشرة خانة. 4 لم يبنها أي إنسان؛ وقد لامستها بضعة أنظمة ذكاء اصطناعي.
لماذا تكافئ هذه اللوحات دسّ أكبر بلاطاتك في ركن؟ البلاطة في الوسط يمكن دفعها في أربعة اتجاهات، فتظل تنفصل عن البلاطات التي تريد الاقتران بها. أما بلاطة الركن فتلامس جدارين؛ والدفع نحو الجدارين اللذين تلتصق بهما أصلًا لا يحرّكها، وما دمت تتجنب الدفع بعيدًا عنهما فإنها تبقى ساكنة بينما ينتظم كل شيء حولها. اربط البقية في أفعى رتيبة، أعلاها في الركن، تنثني ذهابًا وإيابًا بترتيب تنازلي، فقد تطلق سحبة واحدة سلسلة متتالية من الاندماجات. 1 هذا هو الاستدلال الذي يهيمن على اللعب البشري العادي، وهو يكاد يكون بالضبط ما تعيد أنظمة الذكاء الاصطناعي اكتشافه حين تتركها تضبط أوزانها بنفسها.
لعبة الدمج ذات التوليد العشوائي لا خصم لها، بل طقس فحسب. و«حلّها» يعني أن تتغلب على النرد في المتوسط، لا أن تتغلب على عقل.
أمِل اللوحة الآن إلى ثلاثة أبعاد. 3927 هي ابنة العم المكعبة للعبة 2048: شبكة 3×3×3 من 27 خلية، وستة اتجاهات للإزاحة بدلًا من أربعة، وبلاطات تندمج ثلاثًا ثلاثًا، من 3 إلى 9 إلى 27 إلى 81، بالأساس ثلاثة حيث 2048 بالأساس اثنين. 5 فهل يصمد التكديس في الركن أمام البعد الإضافي؟ للمكعب ثمانية أركان، وخلية الركن تلامس الآن ثلاثة أوجه بدلًا من اثنين، فينبغي أن تكون أكثر ثباتًا، مثبّتة بثلاثة جدران في آن واحد، وإن كانت الاتجاهات الستة تمنح اللوحة طرقًا أكثر لخلخلة بنيتك. وتصبح الأفعى مسارًا مطويًا يخترق الطبقات الثلاث كلها. وعلى حد ما استطعت أن أجد، لم يتحقق أحد مما إذا كان هذا التشبيه صحيحًا فعلًا، وهذا استدلال لا قياس.
والسقف؟ قاعدة الأُسّ الواحد لكل خلية توحي بأن 327 ≈ 7.6 تريليون حدٌّ أعلى فضفاض. لكن التشبيه يتهتّك بشدة. فالأُسّ الإضافي في 2048 جاء من بلاطة 4 محظوظة؛ أما 3927 فلا تولّد إلا أصغر بلاطة، أي 3 مجرّدة، فلا مكافأة هناك. والأسوأ أن الدمج الثلاثي يحتاج إلى ثلاث بلاطات مصطفة في خط، وكل صف وعمود وركيزة في مكعب 3×3×3 طوله ثلاث خلايا بالضبط، لذا فإن كل دمج يستهلك خطًا كاملًا. هذا القيد يعضّ أشد بكثير من أي شيء في اللعبة المسطحة، ويكاد يكون مؤكدًا أنه يهبط بالحد الأقصى الحقيقي إلى ما دون 327 بكثير. أما ما هو ذلك الرقم الحقيقي، فلم أجده محسوبًا في أي مكان. (هذا استدلال مصرَّح بطبيعته؛ أما الآليات المذكورة أعلاه فمقيسة من وثائق تصميم اللعبة.)
هنا تكمن الدقة التي تجعل «اللعب المثالي» مفهومًا زلقًا. لعبة الدمج ذات التوليد العشوائي هي لعبة احتمالية لاعب واحد، أي لعبة فردية في مواجهة نرد، لا مبارزة. لا شيء يختار أسوأ بلاطة ليهلكك؛ لا يوجد إلا مولّد الأرقام العشوائية، غير مكترث. لذا فالمفهوم الصحيح للعب الأمثل هو expectimax: تعظيم النتيجة المتوقعة على توزيع البلاطات المولَّدة. وهو قطعًا ليس minimax (أدنى الأقصى)، فهذا يفترض وجود خصم، وإن تركت خصمًا يضع كل بلاطة فعلًا («2048 الشريرة»، evil 2048)، صارت اللعبة شيئًا أقسى يمكن أن تُجبَر فيه على الخسارة. ولأن النرد يمكنه من حيث المبدأ أن يوزّع أي تسلسل، فقد لا توجد ببساطة استراتيجية تضمن بلاطة معيّنة. لذا فالإجابة الأمينة عن سؤال «هل توجد استراتيجية مثالية؟» هي أن أفضل ما يمكن حتى تعريفه في لعبة احتمالية هو الأفضل في المتوسط، وأن حسابه بدقة بعيد المنال في 2048 6 ومفتوح على مصراعيه في 3927.