مواجهة في فضاء الحالات بين شبكة مسطحة من الاثنينات ومكعب مبني بالكامل من الثلاثات.
كُتب وحُرِّر بالإنجليزية. أُنتجت هذه النسخة العربية بالترجمة الآلية؛ وحيثما كانت الدقة مهمة، فالأصل الإنجليزي هو المرجع المعتمد. اقرأ الأصل بالإنجليزية ←
كلتا اللعبتين لغز من ألغاز الأرقام المنزلقة. في 2048 تدفع شبكة 4×4 من ست عشرة خلية في أحد أربعة اتجاهات؛ فتتصادم البلاطات المتساوية وتتضاعف، صاعدةً في قوى العدد اثنين. وفي 3927 تدفع مكعبًا 3×3×3 من سبع وعشرين خلية في أحد ستة اتجاهات؛ فتتصادم ثلاث كتل متساوية وتتضاعف ثلاثًا، صاعدةً في قوى العدد ثلاثة، 3 و9 و27، وهي أرقام الاسم نفسه. 1 والسؤال عن أيهما أصعب هو في الحقيقة سؤال عن أي اللعبتين تخفي محيطًا أكبر من المواضع الممكنة. فلنحاول إذن أن نقيس الماء.
ينمو الحجم الخام للوحة على صورة (عدد الرموز في كل خلية)cells، أي مرفوعًا إلى أُسٍّ هو عدد الخلايا. فعدد الخلايا يقع في الأُسّ، وهناك تكمن كل القوة. تقدّم 2048 ست عشرة خلية؛ وتقدّم 3927 سبعًا وعشرين. ثبّت أبجدية الخلية الواحدة، وسيكون المكعب أكبر سلفًا بعامل يقارب a27−16 = a11، ومع أبجدية من عشرة رموز، يعني ذلك وحده مئة مليار ضعف من الحالات قبل أن نحسب أي شيء آخر. فالبعد الإضافي، لا الحساب بالأساس 3، هو المحرك الحقيقي.
كل خلية إما فارغة أو تحمل قيمة بلاطة واحدة. في 2048 مع سقف عند بلاطة 256، تنطق الخلية بواحد من تسعة رموز: الفراغ، إضافةً إلى {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. وثمة حد أعلى منشور مبني على هذه الأبجدية تحديدًا يقدّر لوحة 4×4 بنحو 5.63 × 1014 موضعًا، ويصرّح مؤلفوه بأن هذا السقف يشمل لوحات غير مشروعة لا يمكن أن تقع فعلًا. 2 امنح 3927 عمقًا مماثلًا، الفراغ إضافةً إلى {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}، أي ثمانية رموز، فيكون سقفها الخام 827 ≈ 2.4 × 1024. يمنح الأساس 3 لعبة 3927 رموزًا أقل في كل خلية مما كان سيمنحه الأساس 2؛ لكن الخلايا الإحدى عشرة الإضافية تعيد إليها السماء كلها.
ادفع سلّمَي القيم إلى عمق أكبر قليلًا، وسيتجاوز سقف 3927 سقف 2048 بما يتراوح بين مليار ضعف ومئة مليار ضعف. المكعب يفوز بالأُسّ.
لم يحصِ أحد الحالات القابلة للبلوغ في 2048 بحجمها الكامل، فضلًا عن 3927. لكن الباحثين حلّوا حلًّا شاملًا لوحات 2048 مصغّرة، وتلك الأرقام الدقيقة هي ما يثبّت تقديراتنا. فلوحة 2048 بحجم 3×3 تضم 48,713,519 حالة قابلة للبلوغ؛ ومدّها إلى 4×3 يقفز بالعدد إلى ما يتجاوز التريليون، أي 1,152,817,492,752 حالة، منها 739,648,886,170 موضعًا متمايزًا بعد الحركة. 3 كل خلية مضافة تضاعف العالم. ومدّ هذا المنحنى إلى 27 خلية يجعل أي جدول أمين عاجزًا عن طباعة رقم واحد.
| الخاصية | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| اللوحة | 4×4 مسطحة | مكعب 3×3×3 |
| الخلايا | 16 | 27 |
| أساس العدّ | 2 | 3 |
| قاعدة الدمج | 2 متماثلتان ← مضاعفة | 3 متماثلات ← مضاعفة ثلاثية |
| اتجاهات الإزاحة | 4 | 6 |
| الرموز / الخلية (بعمق متكافئ) | 9 | 8 |
| السقف الخام (بما فيه غير المشروع) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| حد أعلى محسَّن مستشهد به | 5.63 × 10¹⁴ | لا يوجد منشور |
| العدد الدقيق، لوحة فرعية 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
كل رقم كبير هنا حد أعلى أو تقدير لرتبة المقدار، وليس إحصاءً فعليًا أبدًا. فالسقوف تعدّ لوحات لا يمكن للعب المشروع أن يبلغها، كلوحة لا تحمل إلا بلاطة واحدة منفردة مثلًا (فكلتا اللعبتين تبدأ ببلاطتين، وتضيف بلاطة جديدة بعد كل حركة، فلا تنحدر أي لوحة أبدًا إلى بلاطة واحدة)، أو قيمًا لا يمكن لأي تسلسل من الدمج أن ينتجها. أرقام 2048 مأخوذة من أعمال محكّمة؛ أما أرقام 3927 فهي سقوف تقريبية حسبتُها بنفسي على عجل، بالطريقة نفسها، وينبغي أن تُقرأ على أنها «ليست أكبر من هذا، وعلى الأرجح أقل بكثير». وقواعد اللعبتين مقيسة من وثائق تصميم اللعبة، لا مفترضة.
حجم فضاء الحالات هو الخريطة؛ وعامل التفرّع هو سرعة سيرك فيها. في كل دور يختار اللاعب اتجاهًا، حتى أربعة في 2048 وحتى ستة في 3927، فيقدّم المكعب خيارات حقيقية أكثر بخمسين بالمئة في كل حركة. ثم تتدخل الصدفة: تُسقط اللعبة بلاطة جديدة في خلية فارغة عشوائية. تولّد 2048 بلاطة 2 أو 4، أي نتيجتين تقريبًا لكل خلية مفتوحة عبر ما يصل إلى خمس عشرة خلية فارغة؛ أما 3927 فتولّد دائمًا بلاطة 3 واحدة، ولكن في ما يصل إلى ست وعشرين خلية فارغة. 1 اضرب القرار في الصدفة، فتتفرّع شجرة لعبة 3927 على نحو أوسع عند كل نقلة، ولأن الدمج الثلاثي أندر من الدمج الثنائي، تميل جولاتها إلى أن تدوم أطول، فتزداد الشجرة عمقًا كما تزداد اتساعًا.
«الصعوبة» بالنسبة إلى الإنسان مسألة إحساس، و2048 ليست لقمة سائغة، إذ ثبت أن تحديد ما إذا كان موضع اعتباطي يمكنه بلوغ بلاطة مستهدفة مسألةٌ NP-صعبة على لوحة عامة. 4 لكن 3927، بوصفها كائنًا توافقيًا، هي الحيوان الأكبر بفارق واسع وأمين: خلايا أكثر في الأُسّ، واتجاهات أكثر في التفرّع، وجولات أطول في العمق. أما الحساب بالأساس 3 الذي منحها اسمها فيكاد يكون تضليلًا. لم تكن الصعوبة قط في الثلاثات، بل كانت في البعد الثالث.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.